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微积分I

Math Academy official course import: 微积分I

160 节课

课程大纲

  1. 1.预备知识
    1. 1.1.1. 双曲函数
      1. 1
        双曲函数
      2. 2
        双曲函数的图像
  2. 2.极限
    1. 1.2.1. 从图像估计极限
      1. 1
        函数的有限极限
      2. 2
        函数的左极限与右极限
      3. 3
        利用单侧极限判断极限的存在性
      4. 4
        从图像看无穷远处的极限
      5. 5
        从图像看无穷极限
    2. 2.2.2. 极限的代数运算
      1. 1
        幂函数的极限与极限的常数法则
      2. 2
        极限的和法则
      3. 3
        极限的积法则与商法则
      4. 4
        极限的幂法则与根法则
    3. 3.2.3. 函数的极限
      1. 1
        多项式在无穷远处的极限
      2. 2
        倒数函数的极限
      3. 3
        指数函数的极限
      4. 4
        对数函数的极限
      5. 5
        根式函数的极限
      6. 6
        三角函数的极限
      7. 7
        倒数三角函数的极限
      8. 8
        反三角函数的极限
      9. 9
        分段函数的极限
    4. 4.2.4. 利用代数变换求极限
      1. 1
        通过因式分解求有理函数的极限
      2. 2
        绝对值函数的极限
      3. 3
        利用共轭乘法求根式函数的极限
      4. 4
        利用三角恒等式求极限
      5. 5
        有理函数在无穷远处的极限与水平渐近线
      6. 6
        通过比较函数的相对大小求无穷远处的极限
      7. 7
        求根式函数在无穷远处的极限
      8. 8
        有理函数的垂直渐近线
      9. 9
        有理函数的无穷极限与垂直渐近线的联系
    5. 5.2.5. 特殊极限
      1. 1
        夹逼定理
      2. 2
        涉及正弦的特殊极限
      3. 3
        利用代换求涉及正弦的特殊极限
      4. 4
        涉及余弦的特殊极限
      5. 5
        涉及指数函数的极限
  3. 3.连续性
    1. 1.3.1. 连续性
      1. 1
        从图像判断连续性
      2. 2
        定义在一点处的连续性
      3. 3
        左连续与右连续
      4. 4
        分段函数的进一步连续性
      5. 5
        可去间断点
      6. 6
        跳跃间断点
      7. 7
        由垂直渐近线导致的间断点
      8. 8
        区间上的连续性
      9. 9
        函数的连续性
      10. 10
        介值定理
    2. 2.3.2. 消除间断点
      1. 1
        消除可去间断点
      2. 2
        消除跳跃间断点
      3. 3
        消除有理函数的间断点
  4. 4.微分学导论
    1. 1.4.1. 微分学导论
      1. 1
        函数的平均变化率
      2. 2
        函数在变化区间上的平均变化率
      3. 3
        函数在一点处的瞬时变化率
      4. 4
        使用导数符号定义导数
      5. 5
        可微性与连续性的联系
      6. 6
        微分的幂法则
      7. 7
        微分的和法则与常数倍法则
      8. 8
        利用微分计算切线的斜率
      9. 9
        利用微分计算切线的方程
      10. 10
        利用微分计算法线的方程
    2. 2.4.2. 函数的导数与微分法则
      1. 1
        指数函数的微分
      2. 2
        对数函数的微分
      3. 3
        三角函数的微分
      4. 4
        二阶及高阶导数
      5. 5
        微分的乘积法则
      6. 6
        微分的商法则
      7. 7
        倒数三角函数的微分
      8. 8
        从数据和表格计算导数
      9. 9
        从图像计算导数
      10. 10
        在极限中识别导数
  5. 5.进阶微分
    1. 1.5.1. 复合函数的微分
      1. 1
        微分的链式法则
      2. 2
        指数函数的链式法则
      3. 3
        对数函数的链式法则
      4. 4
        三角函数的链式法则
      5. 5
        利用链式法则从数据计算导数
      6. 6
        利用链式法则从图像计算导数
      7. 7
        选择计算导数的步骤
    2. 2.5.2. 隐函数与反函数的微分
      1. 1
        隐函数微分
      2. 2
        计算圆、椭圆和抛物线的斜率
      3. 3
        利用dx/dy计算dy/dx
      4. 4
        反函数的微分
      5. 5
        在一点上对反函数求导
      6. 6
        反三角函数的微分
      7. 7
        反倒数三角函数的微分
    3. 3.5.3. 利用对数求导
      1. 1
        对数微分法
  6. 6.微分的实际应用
    1. 1.6.1. 微分的实际应用
      1. 1
        在实际情境中解释导数的含义
      2. 2
        应用情境中的变化率
    2. 2.6.2. 估计导数
      1. 1
        使用前向差商估计导数
      2. 2
        使用后向差商估计导数
      3. 3
        使用中心差商估计导数
    3. 3.6.3. 相关变化率
      1. 1
        相关变化率简介
      2. 2
        隐函数的相关变化率
      3. 3
        计算圆和球体的相关变化率
      4. 4
        计算正方形的相关变化率
      5. 5
        计算长方体的相关变化率
      6. 6
        使用勾股定理计算相关变化率
      7. 7
        使用相似三角形计算相关变化率
      8. 8
        使用三角学计算相关变化率
      9. 9
        计算圆锥体的相关变化率
    4. 4.6.4. 洛必达法则
      1. 1
        洛必达法则
      2. 2
        应用于表格的洛必达法则
  7. 7.微分的分析应用
    1. 1.7.1. 微分的分析应用
      1. 1
        中值定理
      2. 2
        全局极值与局部极值及临界点
      3. 3
        极值定理
      4. 4
        使用微分计算临界点
      5. 5
        确定函数递增或递减的区间
      6. 6
        使用一阶导数检验法分类局部极值
      7. 7
        候选值检验法
      8. 8
        凹性区间
      9. 9
        凹性与二阶导数的关系
      10. 10
        拐点
      11. 11
        二阶导数检验法
    2. 2.7.2. 曲线分析
      1. 1
        根据函数图像绘制其导数图像
      2. 2
        解释函数导数的图像
      3. 3
        解释函数导数的图像：凹性与拐点
      4. 4
        根据导数图像绘制原函数图像
      5. 5
        根据给定的导数性质绘制函数图像
    3. 3.7.3. 函数值的近似
      1. 1
        利用局部线性化和线性化近似函数
      2. 2
        利用局部线性化近似数的根
      3. 3
        利用局部线性化近似三角函数
    4. 4.7.4. 最优化
      1. 1
        使用导数解决最优化问题
      2. 2
        涉及圆扇形的最优化问题
      3. 3
        涉及盒子和托盘的最优化问题
      4. 4
        涉及圆柱体的最优化问题
      5. 5
        距离最优化
      6. 6
        到曲线距离的最优化
      7. 7
        涉及内接图形的最优化问题
      8. 8
        经济学中的最优化问题
    5. 5.7.5. 位移、速度和加速度
      1. 1
        使用微分计算直线运动的速度
      2. 2
        使用微分计算直线运动的加速度
      3. 3
        使用微分确定运动物体的特性
      4. 4
        牛顿第二定律
  8. 8.积分
    1. 1.8.1. 不定积分
      1. 1
        原函数
      2. 2
        不定积分的常数倍法则
      3. 3
        不定积分的和法则
      4. 4
        倒数函数的积分
      5. 5
        指数函数的积分
      6. 6
        三角函数的积分
      7. 7
        使用反三角函数的积分
    2. 2.8.2. 用黎曼和近似面积
      1. 1
        用左黎曼和近似面积
      2. 2
        用右黎曼和近似面积
      3. 3
        用中点黎曼和近似面积
      4. 4
        用梯形法则近似面积
      5. 5
        用西格玛符号表示的左、右黎曼和
      6. 6
        用西格玛符号表示的中点法则和梯形法则
      7. 7
        近似复合函数图像下的面积
    3. 3.8.3. 定积分
      1. 1
        使用左、右黎曼和定义定积分
      2. 2
        微积分基本定理
      3. 3
        将微积分基本定理应用于指数函数和三角函数
      4. 4
        定积分的和法则与常数倍法则
      5. 5
        涉及积分限的定积分性质
    4. 4.8.4. 曲线下面积
      1. 1
        曲线与X轴所围面积
      2. 2
        利用对称性计算定积分
      3. 3
        求曲线与X轴相交时两者之间的面积
      4. 4
        曲线与Y轴所围面积
      5. 5
        根据函数图像计算定积分
      6. 6
        根据函数导数图像计算定积分
      7. 7
        分段函数的定积分
    5. 5.8.5. 累积函数
      1. 1
        作为累积函数的积分
      2. 2
        微积分第二基本定理
      3. 3
        利用导数图像求函数最大值
      4. 4
        利用导数图像求函数最小值
      5. 5
        利用导数图像进一步优化函数